Maa Kõige Täpsem Tasane Kaart

Kosmoloog ja tema kolleegid tegelevad sajanditevanuse kartograafilise muredega.

Tavaliselt tegelen üldrelatiivsusteooria ja kosmoloogiaga. Mulle on alati meeldinud geomeetrilised asjad. Lapsepõlves vaimustasid mind kaardiprojektsioonid. Kui olin 14-aastane, valmistasin astronoom E. M. Antoniadi tasase Mercator Marsi kaardi põhjal maalitud Marsi maakera. Pärast Princetoni emeriitprofessoriks saamist olen hea meelega naasnud mõnede oma lapsepõlve huvide juurde.

Mina ja minu kolleegid Dave Goldberg ja Bob Vanderbei (kes leiutasid valimistulemuste kuvamiseks kaardi “Purple America”) oleme koostanud meie arvates kõige täpsema Maa tasase kaardi, mis kunagi tehtud. Maa kumera pinna kujutamine tasasel kaardil on kartograafide probleem olnud sajandeid. Ükski Maa tasane kaart ei saa olla täiuslik. Kuid lamedaid kaarte on lihtne säilitada ja valmistada ning seetõttu on need soovitavad.

Varem tegime Goldbergiga kindlaks kuus kriitilist veatüüpi, mida tasasel kaardil võib olla: lokaalsed kujud, alad, kaugused, paindumine (painutamine), viltusus (kaldus) ja piirilõiked. Neid illustreerib kuulus Mercatori projektsioon, mis on Google Mapsi alusmall. See on ideaalse kohaliku kujuga, kuid halvasti kujutab piirkondi. Gröönimaa näib olevat sama suur kui Lõuna-Ameerika, kuigi see katab maakera pindalast vaid seitsmendiku.

Kõike ei saa täiuslikuks muuta. Mercatori kaardil on piirilõike viga: üks lõikab 180 kraadi piki rahvusvahelise kuupäevajoone meridiaani poolusest poolusesse ja rullib lahti Maa pinna, asetades seega Hawaii kaardi vasakusse äärde ja Jaapani kaardi paremas paremas servas tekitades protsessis täiendava kaugusvea. Suure ringiga otse New Yorgist Tokyosse lendav piloot läbib Alaska põhjaosa. Tema marsruut näib olevat Mercatori kaardil painutatud - paindeviga. Põhja-Ameerika on põhja poole kaldu: Kanada on suurem kui peaks ja Mehhiko on liiga väike. Kõik need vead on olulised. Ühe neist eiramine võib viia halva välimusega kaartide juurde, mida keegi ei eelistaks.

Eesmärk on leida kaardiprojektsioonid, mis minimeerivad vigade ruutude summa - tehnika, mis pärineb matemaatik Carl Friedrich Gaussist. Mercatori prognoosi Goldberg-Gotti veatulemus (kuue normaliseeritud individuaalse veamärgi ruutude summa) on 8,296. Mida madalam tulemus, seda väiksemad vead ja parem kaart. Maa gloobuse veahindeks oleks 0,0. Leidsime, et maakera jaoks on varem teadaolev kindla kaardi projektsioon Winkeli tripel, mida kasutab National Geographic Society, mille veamäär on 4,563. Selle üla- ja alaosad on sirged, jooned vasaku ja parema servaga, mis tähistavad selle 180-kraadist piiri, mis on lõigatud Vaikse ookeani keskel.

Tundub, et oleme jõudnud Winkeli tripeli täiustamise piirini. Kui see teaduses aset leiab, on radikaalse progressi saavutamiseks vaja sageli läbimurret, mõningast kastivälist mõtlemist. Richard Feynman ütles kunagi, et füüsikas, kui me oleme ummikus, kui kõik vanad meetodid ei tööta, siis uus trikk, uus meetod, mis töötab, näeb välja väga erinev kõigest, mida oleme varem näinud.

Uue kaardiprojektsiooni idee pärines hiljuti kirjutatud artiklist “Ümbrik Polyhedra”, kus tutvustati uut klassi tavalisi polüheedreid, kus polügoonidel lubatakse seljataha ilmuda. Sain aru, et suudan teha tagurpidi ringkaardi: nagu vanaaegne fonograafiplaat. Kaardi ühel küljel on põhjapoolkera, teisel pool lõunapoolkera, ekvaator kulgeb ümber serva. Sellel pole piirilõikeid ja sfääri õige topoloogia. Üks lihtsalt surub sfääri tasaseks.

Seejärel pidime leidma parema valemi funktsioonide joonistamiseks mõlemale küljele, mis viiks Goldberg-Gotti veatulemuse miinimumini. Vastus on selline, kus põhjapoolus asub fonograafikirje põhjakülje keskel, pikkusjooned levivad sellest võrdselt, kus iga pikkusjoone skaala on ühtlane, ja sarnaselt lõunaküljega. Linnade vahelisi kaugusi mõõdetakse nende vahel lihtsalt nööri sirutades; kui need asuvad vastandlikel poolkeradel, sirutub string lihtsalt üle ekvaatori kaardi servas.

Uue kaardi puuduseks on see, et te ei näe kogu Maa pinda korraga, kuid pidage meeles, et see kehtib ka maakera kohta. Meie kaart sarnaneb selles mõttes tegelikult maakerale kui teistele tasastele kaartidele. Kogu maakera nägemiseks peate seda pöörama; kogu uue kaardi nägemiseks peate selle lihtsalt ümber pöörama, nagu näete allpool.

Sellel kahepoolsel kaardil on Goldberg-Gotti veatulemus Winkeli tripelli puhul ainult 0,881 versus 4,563. See võidab Winkeli tripelli kõigis kuues vea mõistes! Piirilõike viga on null, kuna mandrid ja ookeanid on ümmarguse serva ulatuses pidevad. Sellel on tähelepanuväärne omadus, mida ühelgi ühepoolsel tasasel kaardil ei ole: punktide paaride (näiteks linnade) vaheline kauguseviga on piiratud, maksimaalselt pluss-miinus 22,2 protsenti. Mercatori ja Winkeli tripelliprognoosides lähevad postide ja piirilõikude lähenedes kaugusvead õhku.

Meie kaarte saab ajakirjast välja lõigata või lehtedesse lisada. Need võivad olla valmistatud papist või plastikust. Õhukesse kasti mahtusid lamedad kahepoolsed kaardid kõigist päikesesüsteemi peamistest objektidest või virn Maa kaartidest, mis andsid füüsilisi ja poliitilisi andmeid.

Winkle tripel on kaart, mis riputatakse teie seinale. Meie oma on täpsem, mida saate käes hoida.

See on arvamus- ja analüüsiartikkel.