Sisukord:

Matemaatikahuvilistele: Peatükkide Teejuht Numbrile 42
Matemaatikahuvilistele: Peatükkide Teejuht Numbrile 42

Video: Matemaatikahuvilistele: Peatükkide Teejuht Numbrile 42

Video: Matemaatikahuvilistele: Peatükkide Teejuht Numbrile 42
Video: Pythagorase teoreem 2023, Märts
Anonim

Siit saate teada, kuidas täiesti tavaline arv köitis ulmehuviliste, geekide ja matemaatikute huvi.

Matemaatikahuvilistele: Peatükkide teejuht numbrile 42
Matemaatikahuvilistele: Peatükkide teejuht numbrile 42

Kõik armastavad lahendamata saladusi. Näitena võib nimetada Amelia Earharti kadumist Vaikse ookeani kohal 1937. aastal ning kinnipeetavate Frank Morrise ning John ja Clarence Anglini julget põgenemist Alcatrazi saarelt Californias 1962. aastal. Veelgi enam, meie huvi kehtib ka siis, kui mõistatus põhineb naljal. Võtame autor Douglas Adamsi populaarse ulmeromaani 1979. aastal „Autotopisti teejuht galaktikasse“, mis on esimene viiest seeriast. Raamatu lõpupoole näitab superarvuti Sügav mõte, et vastus „Elu, universumi ja kõige” suurele küsimusele on „nelikümmend kaks”.

Sügavale mõttele kulub lõplikule küsimusele vastuse arvutamiseks 7,5 miljonit aastat. Selle vastuse saamiseks vastutavad tegelased on pettunud, sest see pole eriti kasulik. Kuid nagu arvuti osutab, oli küsimus ise sõnastatud ebamääraselt. Päringu, mille vastus on 42, õige lause leidmiseks peab arvuti ise uue versiooni ehitama. Ka see võtab aega. Arvuti uus versioon on Earth. Järgmiseks juhtumite saamiseks peate lugema Adamsi raamatuid.

Autori valitud number 42 on muutunud geekikultuuri kinnituseks. See on algatusel paljude naljade ja pilgutuste algatajatele, keda initsiatiivid omavahel vahetavad. Näiteks kui esitate oma otsingumootorile variatsioonid küsimusele "Mis on kõigele vastus?" see vastab tõenäoliselt "42". Proovige prantsuse või saksa keeles. Sageli saate sama vastuse, kas kasutate Google'i, Qwanti, Wolfram Alphat (mis on spetsialiseerunud matemaatiliste probleemide arvutamisele) või vestlusboti veebirakendust Cleverbot.

Alates esimese sellise kooli loomisest Prantsusmaal 2013. aastal on arvutis „42 Network“laienenud eraõiguslikud arvutiõppeasutused, mille nimi on selge vihje Adamsi romaanidele. Täna loeb asutajafirma oma globaalses võrgustikus üle 15 ülikoolilinnaku. Number 42 ilmub erineval kujul ka filmis Ämblikmees: Ämblikvärsi. Palju muid viiteid ja vihjeid sellele võib leida näiteks Vikipeedia kirjest „42 (number).”.

Number 42 ilmub samuti terve rida kurioosseid kokkusattumusi, mille olulisus ei ole ilmselt selle nimel pingutamist väärt. Näiteks:.

Vana-Egiptuse mütoloogias tuli surnute hingeotsuse ajal 42 kohtuniku ees deklareerida, et nad pole ühtegi 42 patust toime pannud.

Maratonidistants 42,195 kilomeetrit vastab legendile, kui kaugele sõitis Kreeka Vana käskjalg Pheidippides Maratoni ja Ateena vahel, et kuulutada 490. aastal eKr pärslaste üle võitu. (Asjaolu, et kilomeeter polnud sel ajal veel määratletud, muudab ühenduse veelgi hämmastavamaks.)

Vana-Tiibetis oli 42 valitsejat. Esimesena oli Nyatri Tsenpo, kes valitses umbes aastal 127 eKr. Ja Langdarma, kes valitses aastail 836–842 (s.o. IX sajandi 42. aasta), oli viimane.

Gutenbergi piiblis, esimeses Euroopas trükitud raamatus, on veerus 42 rida teksti ja seda nimetatakse ka neljakümne kaherealiseks piibliks.

Romaanile eelnenud raadiosaate The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy 42. aastapäeva tähistava ajakirja Economist ajaveebipostituse kohaselt on "kõige tähtsamat 42. aastapäeva tähistatud harva."

Puhtalt meelevaldne valik

Ilmselge küsimus, mida tõepoolest on küsitud, on see, kas 42 kasutamisel Adamsi raamatutes oli autori jaoks eriline tähendus. Tema veebivestlusrühma alt.fan.douglas-adams postitatud vastus oli napisõnaline: „See oli nali. See pidi olema number, tavaline väike number ja ma valisin selle. Binaarsed kujutised, kolmteist baasi, Tiibeti mungad on kõik täielik jama. Istusin oma kirjutuslaua taga, vahtisin aeda ja mõtlesin, et ‘42 saab. ’Trükkisin selle välja. Loo lõpp.".

Binaarsüsteemis ehk baasis 2 on 42 kirjutatud kui 101010, mis on üsna lihtne ja muide ajendas mõnda fänni pidusid pidama 10. oktoobril 2010 (10/10/10). Adamsi vastuses viide baasile 13 nõuab kaudsemat selgitust. Ühel juhul viitab seeria sellele, et 42 on vastus küsimusele "Mida sa saad, kui korrutad kuus üheksa?" See idee tundub absurdne, sest 6 x 9 = 54. Kuid baasis 13 võrdub arv, mis on väljendatud 42-ga, (4 x 13) + 2 = 54.

Peale arvutusteadlaste oma lõbuks teadlikult sisse viidud viiteid 42-le ja paratamatuid kohtumisi sellega, mis kerkivad esile siis, kui ajaloos või maailmas pisut ringi torkida, võite siiski mõelda, kas numbris on midagi erilist matemaatiliselt vaatega.

Matemaatiliselt ainulaadne?

Numbril 42 on mitmeid huvitavaid matemaatilisi omadusi. Siin on mõned neist:

Number on kahe esimese paaritu jõu summa, st 21 + 23 + 25 = 42. See on element järjestuses a (n), mis on n paaritu arvu 2 paaritu jõu summa. Jada vastab kirjele A020988, mis on loodud koguarvude järjestuste on-line entsüklopeedias (OEIS). matemaatik Neil Sloane. Aluses 2 võib n-nda elemendi täpsustada, korrates 10 n korda (1010… 10). Selle järjestuse valem on (n) = (2/3) (4 n - 1). Kui n suureneb, kaldub arvude tihedus nulli poole, mis tähendab, et sellesse loendisse kuuluvad arvud, sealhulgas 42, on erakordselt haruldased.

Number 42 on kuue esimese kahe nulli täisarvu summa, see tähendab 61 + 62 = 42. Järjestus b (n), mis on kuue astme summa, vastab OEIS-i kirjele A105281. See on määratletud valemitega b (0) = 0, b (n) = 6 b (n - 1) + 6. Ka nende arvude tihedus kaldub lõpmatuseni nulli.

Nelikümmend kaks on katalaani number. Need arvud on äärmiselt haruldased, palju rohkem kui algarvud: kõigest 14 neist on madalamad kui miljard. Katalaani numbreid mainis teise nime all esmakordselt Šveitsi matemaatik Leonhard Euler, kes soovis teada, kui mitmel erineval viisil saab n-poolset kumerat hulknurka kolmnurkadeks lõigata, ühendades tipud joone segmentidega. Järjestuse algus (A000108 OEIS-is) on 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132…. Järjestuse n-nda elemendi annab valem c (n) = (2 n)! / (n! (n + 1)!). Ja nagu kaks eelnevat järjestust, on ka arvude tihedus lõpmatuses null.

Katalaani numbrid on nime saanud Prantsuse-Belgia matemaatiku Eugène Charles Catalani (1814–1894) järgi, kes avastas, et c (n) on arv viise, kuidas korraldada n sulgude paari vastavalt nende kirjutamise tavapärastele reeglitele: sulgud pole kunagi suletud enne selle avamist ja selle saab sulgeda alles siis, kui kõik sulgud, mis hiljem avati, on ise suletud.

Näiteks c (3) = 5, kuna kolme sulgude paari võimalik paigutus on:

((())); () () (); (()) (); (() ()); () (())

Nelikümmend kaks on ka "praktiline" arv, mis tähendab, et mis tahes täisarv vahemikus 1 kuni 42 on selle eraldajate alamhulga summa. Esimesed praktilised numbrid on 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66 ja 72 (järjestus A005153 OEIS-is). Ükski lihtne teadaolev valem ei anna selle järjestuse n-ndat elementi.

Kõik see on lõbus, kuid oleks vale öelda, et 42 on matemaatiliselt tegelikult midagi erilist. Näiteks numbrid 41 ja 43 on samuti paljude järjestuste elemendid. Vikipeedias saate uurida erinevate numbrite omadusi.

Mitme numbri teeb eriti huvitavaks või ebahuvitavaks küsimus, mida oleme uurinud matemaatik ja psühholoog Nicolas Gauvrit, looduslik loodusteadlane Hector Zenil ja mina, alustades OEIS-i järjestuste analüüsist. Lisaks teoreetilisele seosele Kolmogorovi keerukusega (mis määratleb arvu keerukuse minimaalse kirjelduse pikkuse järgi), oleme näidanud, et Sloane'i entsüklopeedias sisalduvad numbrid viitavad jagatud matemaatilisele kultuurile ja sellest tulenevalt sellele, et OEIS põhineb palju inimese eelistustest kui puhtast matemaatilisest objektiivsusest.

Kolme kuubi summa summa probleem

Arvutiteadlased ja matemaatikud tunnistavad numbri 42 atraktiivsust, kuid on alati arvanud, et see oli lihtne mäng, mida sai sama hästi mängida ka teise numbriga. Ometi köitis nende tähelepanu hiljutine uudis. Kui seda rakendati probleemi „kolme kuubiku summa“jaoks, oli 42 tülikam kui kõik ülejäänud arvud, mis olid alla 100.

Ülesanne esitatakse järgmiselt: Millised täisarvud n saab kirjutada kolme täisarvu kuubi summana (n = a 3 + b 3 + c 3)? Ja kuidas leiate selliste täisarvude puhul a, b ja c? Praktiliselt on selle arvutuse tegemise raskus selles, et antud n korral hõlmab vaadeldav kolmikute ruum negatiivseid täisarvusid. See kolmikruum on seega lõpmatu, erinevalt ruutude summa arvutamisest. Selle konkreetse probleemi korral on mis tahes lahendi absoluutväärtus väiksem kui antud n ruutjuur. Pealegi teame ruutude summa osas suurepäraselt, mis on võimalik ja võimatu.

Kuubikute summa puhul võivad mõned lahendused olla üllatavalt suured, näiteks 156 jaoks mõeldud lahendus, mis avastati 2007. aastal:

156 = 26, 577, 110, 807, 5693 + (−18, 161, 093, 358, 005)3 + (−23, 381, 515, 025, 762)3.

Pange tähele, et mõne täisarvu n korral on võrrand n = a 3 + b 3 + c 3 pole lahendust. Nii on kõigi täisarvude n puhul, mis on väljendatavad kui 9 m + 4 või 9 m + 5 mis tahes täisarvude m korral (nt 4, 5, 13, 14, 22, 23). Selle väite demonstreerimine on lihtne: kasutame arvutust "modulo 9" (mod 9), mis on samaväärne eeldusega, et 9 = 0, ja seejärel manipuleerides ainult arvudega vahemikus 0 kuni 8 või vahemikus −4 kuni 4. Kui seda teeme, vaata, et:

03 = 0 (mod 9); 13 = 1 (mod 9); 23 = 8 = –1 (mod 9); 33 = 27 = 0 (mod 9); 43 = 64 = 1 (mod 9); 53 = (–4)3 = –64 = –1 (mod 9); 63 = (–3)3 = 0 (mod 9); 73 = (–2)3 = 1 (mod 9); 83 = (–1)3 = –1 (mod 9).

Teisisõnu on täisarvu moodul 9 kuup –1 (= 8), 0 või 1. Mis tahes kolme numbri lisamine nende arvude hulka annab:

0 = 0 + 0 + 0 = 0 + 1 + (–1); 1 = 1 + 0 + 0 = 1 + 1 + (–1); 2 = 1 + 1 + 0; 3 = 1 + 1 + 1; 6 = –3 = (–1) + (–1) + (–1); 7 = –2 = (–1) + (–1) + 0; 8 = –1 = (–1) + 0 + 0 = 1 + (–1) + (–1)

Te ei saa summat 4 või 5 (= –4). See piirang tähendab, et kolme kuubiku summad ei ole kunagi numbrid kujul 9 m + 4 või 9 m + 5. Seega ütleme, et n = 9 m + 4 ja n = 9 m + 5 on keelatud väärtused.

Lahenduste otsimine

Selle illustreerimiseks, kui keeruline on võrrandile n = a lahendusi leida 3 + b 3 + c 3, vaatame, mis juhtub n = 1 ja n = 2 korral.

Kui n = 1, on ilmne lahendus:

13 + 13 + (–1)3 = 1.

Kas on ka teisi? Jah seal on:.

93 + (–6)3 + (–8)3 = 729 + (–216) + (–512) = 1.

See arvutus pole ainus teine lahendus. 1936. aastal pakkus saksa matemaatik Kurt Mahler neid välja lõpmatu arv. Mis tahes täisarvu p:.

(9 lk 4)3 + (3 p - 9 lk 4)3 + (1–9 lk 3)3 = 1.

Seda väidet saab tõestada, kasutades tähelepanuväärset identiteeti:

(A + B)3 = A 3 + 3 A 2 B + 3 AB 2 + B 3.

N = 2 jaoks on tuntud ka lõpmatu kogum lahendusi. Selle avastas matemaatik A. S. Werebrusov 1908. aastal. Mis tahes täisarvu p:.

(6 lk 3 + 1)3 + (1 - 6 lk 3)3 + (–6 lk 2)3 = 2.

Korrutades nende võrrandite iga termini täisarvu kuupiga (r 3), järeldame, et ka kuubi jaoks on lõpmata palju lahendusi ja kahekordistatakse kuubik suvalisest täisarvust.

Vaatleme näiteks 16, mis on kahekordne kuup 2. Kui p = 1, saame:

143 + (–10)3 + (–12)3 = 16.

Pange tähele, et n = 3 korral oli 2019. aasta augusti seisuga teada ainult kaks lahendust:

13 + 13 + 13 = 3; 43 + 43 + (–5)3 = 3.

Loomulikult järgneb järgmine küsimus: kas iga keelamatu väärtuse jaoks on olemas vähemalt üks lahendus ?.

Arvutid tööl

Sellele küsimusele vastamiseks võtsid matemaatikud kõigepealt keelatud väärtused 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16… (AIS-is A060464) ja uurisid neid ükshaaval. Kui kõigi nende uuritud väärtuste jaoks on võimalik leida lahendusi, on mõistlik oletada, et mis tahes täisarvu n puhul, mis ei ole kujul n = 9 m + 4 või n = 9 m + 5, on võrrandile n = a 3 + b 3 + c 3.

Siiani läbi viidud uuringud, mis sõltuvad kasutatavate arvutite või arvutivõrkude võimsusest, on andnud üha laiema hulga tulemusi. See töö viib meid tagasi kuulsa ja intrigeeriva numbri 42 juurde.

2009. aastal uurisid Saksa matemaatikud Andreas-Stephan Elsenhans ja Jörg Jahnel, kasutades Harvardi ülikooli Noam Elkiese 2000. aastal välja pakutud meetodit, täisarvude kolmikuid a, b, c absoluutväärtusega alla 1014 n-le lahenduste leidmiseks vahemikus 1 kuni 1 000. Nende leidudest teatavas dokumendis jõuti järeldusele, et küsimus lahenduse olemasolu kohta numbritele alla 1 000 jääb lahtiseks ainult 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579 puhul, 627, 633, 732, 795, 906, 921 ja 975. Alla 100 alla jäävate täisarvude jaoks jäi järele vaid kolm mõistet: 33, 42 ja 74.

2016. aasta eetritrükis surus Sander Huisman, kes nüüd on Hollandis Twente ülikoolis, ja leidis lahenduse 74:.

(–284, 650, 292, 555, 885)3 + (66, 229, 832, 190, 556)3 + (283, 450, 105, 697, 727)3.

2019. aastal lahendas Andrew Booker Inglismaalt Bristoli ülikoolist juhtumi 33:.

8, 866, 128, 975, 287, 528)3 + (–8, 778, 405, 442, 862, 239)3 + (–2, 736, 111, 468, 807, 040)3.

Sellest hetkest alates oli Douglas Adamsi arv viimane positiivne täisarv, mis oli väiksem kui 100, mille esitus kolme täisarvu kuubi summana ei olnud teada. Kui lahendust ei oleks, pakuks see järeldus tõeliselt veenvat põhjendust 42 matemaatilise olulisuse jaoks: see oleks esimene number, millele lahendus näis võimalikuna ilmnevat, kuid ühtegi neist polnud leitud. Arvutid proovisid, kuid polnud suutnud probleemi lahendada.

Vastus saadi 2020. aasta eeltrükina, mis oli tohutute arvutustööde tulemus, mida koordineerisid Booker ja Andrew Sutherland Massachusettsi Tehnoloogiainstituudist. Personaalarvutite võrgustikus Charity Engine osalevad arvutid, mis arvutatakse ekvivalendi järgi rohkem kui miljon tundi, näitasid:

42 = (–80, 538, 738, 812, 075, 974)3 + 80, 435, 758, 145, 817, 5153 + 12, 602, 123, 297, 335, 6313.

Hiljuti lahendati ka juhtumid 165, 795 ja 906. Alla 1 000 täisarvude puhul on lahendamata vaid 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921 ja 975.

Oletus, et kõigi täisarvude n jaoks on olemas lahendid, mis ei ole kujul 9 m + 4 või 9 m + 5, näib kinnitavat. 1992. aastal pakkus Roger Heath-Brown Oxfordi ülikoolist välja tugevama oletuse, milles öeldakse, et kõigi võimalike n-de väljendamiseks kolme kuubi summana on lõpmata palju viise. Töö pole kaugeltki lõppenud.

Raskus näib nii hirmutav, et küsimus "Kas n on kolme kuubiku summa?" võib olla otsustamatu. Teisisõnu, ükski algoritm, olgu see nutikas, ei pruugi kõiki võimalikke juhtumeid töödelda. Näiteks näitas Alan Turing 1936. aastal, et ükski algoritm ei suuda peatada iga võimaliku arvutiprogrammi probleemi. Kuid siin oleme hõlpsasti kirjeldatavas, puhtalt matemaatilises valdkonnas. Kui suudaksime sellist otsustamatust tõestada, oleks see uudsus.

Number 42 oli keeruline, kuid see pole veel viimane samm !.

Populaarne teemade kaupa