Matemaatika Met

Muuseumi 2 miljoni kunstiteose keskel peitub arvukalt matemaatilisi kurioosumeid.

New Yorgis asuv Metropolitani kunstimuuseum, mis on tuntud kogu maailmas ja edaspidi "Met", on suurim kunstimuuseum USA-s ja üks kümnest suurimast maailmas. See asutati 1870. aastal, ja seal on kaks miljonit kunstiteost antiigist tänapäevani kogu maailmast.

Pakume siinkohal giidiga tutvumist meti varjatud matemaatikas. Meti kollektsioonides on üllatava matemaatilise sisuga kunstiteosed. Need tööd hõlmavad maakera, inimkonna ajalugu ja Meti kuraatoriosakondi. Nende hulka kuuluvad numbrid, kujundid, perspektiiv, astronoomia, aeg ja mängud. (Teisel ringreisil, veel planeerimise etapis, loodame teile näidata mustreid, sümmeetriaid ja mitmesuguseid matemaatilisi tegevusi.).

Meie ringkäik sai inspiratsiooni varalahkunud dr David Mininbergist, kelle põnev ringreis "Meditsiin metis" näitas Metil välja pandud purkide, kausside ja muude Vana-Egiptuse, Bütsantsi, Vana-Lähis-Ida ja Okeaania esemete meditsiinilisi eesmärke. nende kunstiliste väärtuste eest. Pühendame selle essee tema mälestuseks, tänutundega julgustuse eest.

.

Numbrid

Ehkki see on varjatud matemaatika ringkäik, alustame 3 jala kõrge erandiga. Moodsa ja kaasaegse kunsti tiivas hüppab teie seina küljest lahti maal "Nägin joonist 5 kullaga"; või pigem tormab endast eemale (joonis 1).

Maal on austusavaldus kunstniku sõbrale, luuletaja William Carlos Williamsile (otsige "Bill", "Carlos" ja luuletaja initsiaalid) ja Williamsi luuletusele "Suur kuju":.

Vihma / ja tulede seas / nägin joonist 5 / kullas /.

punasel / tuletõrjeautol / liikuval / pinges / tähelepanuta / kõlksutama / sireen ulgub /.

ja rattad mürisevad / läbi pimeda linna.

Edasi läheme joonistuste ja printide juurde. Siin-vähem ilmselt - leiame numbreid salapärasest ja intrigeerivast graveeringust "Melencolia I", mille valmistas Albrecht Durer (1471–1528) 1514. aastal (joonis 2). Selle 500. aastapäeva tähistasid matemaatikud südamest 2014. aastal.

Tõepoolest, "Melencolia" on matemaatiline pidusöök, millel on kera, kompass ja salapärane hulktahukas. Ja vaadake kella alt tähelepanelikult: ruut numbritega 1,…. 16 on võluruut: numbrid igas reas, igas veerus ja diagonaalis lisavad 34-le. Ehkki võluruute on võimalik jälgida umbes 2500 aasta tagant, arvatakse, et Durer on esimene Euroopa kunstnik, kes seda kujutab.

"Melencolia" üle mõtiskledes sisenete aritmeetiliste mõistatuste imelisse maailma. Mis on väikseim võluruut (2x2? 3x3? 4x4?) Kui palju igast (võimalikust) suurusest eksisteerib? Kas on suurim suurus? Kas maagilisi kuubikuid on? Maagilised hüperkuubikud ?.

Graatsilised numbrid selles maagilises ruudus - umbes nagu need, mida me täna kasutame - arenesid välja iidsetest India brahmi numbritest. Tantaliseeriva ja mitmeotstarbelise nulli lisandumisel levisid nad sajandite vältel aeglaselt läände, jõudes Itaaliasse keskaja ajastul, kus nad asendasid varsti tülikad Rooma numbrid.

Kuid veel üht läänes kasutatavat sümbolikomplekti ei asendatud nii kiiresti. Selle asemel kasutati seda renessansi ajal, eksisteerides koos "uute" hindude-araabia numbritega, nii nagu trükkimine ja tekstitöötlus eksisteerisid kuni puutetundliku ekraanini.

Neid sümboleid ei kirjutatud; need olid sõrmede liigeste painutamise teel tehtud žestid. Selle asemel, et lihtsalt ühe, kahe, kolme või enama sõrme üleval hoida, et loendada kahel käel ühest kümneni, võiksid käsiarvestajad, nagu adepte kutsuti, kuvada kõiki numbreid ühest sajani vaid ühe käe sõrmedega.. Kahe käega said nad kokku lugeda kuni 9999. Ja mitte ainult kokku: nad võisid arvestada. Käsiarvestajad tegid aritmeetikat ja arvutasid pühade, näiteks ülestõusmispühade, tulevased kuupäevad. See süsteem püsis tõenäoliselt seni, kuni püsis, sest see oli kauplejate rahvusvaheline keel. Lähis-Ida kaamelikaupmees võiks sõlmida Euroopa villakaupmehega tehinguid vahetamata ühtegi sõna nende vastastikku arusaamatutest keeltest või panemata pastakat paberile (mõlemat on raske kätte saada). Tõepoolest, Chicago kaubandusameti kauplejad kasutasid 1870. aasta veebruarini 2015 käsitsi arvestamise viisi ("avalik hüüd").

Käsitsi arvestamist näete Metis flaami ürgaja Adriaen Isenbranti filmis "Kulda kaaluv mees" (joonis 3), Euroopa maalide osakonnas 1250–1800. See 16. sajandi alguse maal, mida räägib veebisait Met, on üks esimesi portreesid, mis kujutavad kutsetegevust, kuigi ajaloolased pole kindlad, millist ametit on kujutatud. Kulda kaaluv mees võis käidelda kaupadega või olla rahavahetaja või pankur.

Vasakpoolsel pannil on kindel kaal; ta kuhjab parempoolsele pannile münte, kuni need tasakaalustuvad. Kuidas ta aga koguarvu jälgib? Mitte aabitsaga ega sulepeaga. Kuid pange tähele tema parema käe ristisõrmi.

Kui meie tõlgendus on õige, kasutab ta jooksva summa kokku lugemiseks oma kaasaegse Luca Pacioli (joonis 4) fikseeritud käepositsioonide varianti.

Euroopa skulptuuri ja dekoratiivkunsti osakonnas leiame taas käsitsi arvestamise, nüüd juba viimistletud peegliraamis, mille on kujundanud juhtiv 16. sajandi Nuremburgi kullassepp Wenzel Jamnitzer (joonis 5). Raam kordab tema 1568. aasta raamatu Perspectiva Corporum Regularium esikülge. Iga nurk esindab ühte keskaegse ülikooli seitsmest vabakunstist; need neli, mida nimetatakse kvadriviumiks, on (paremast ülemisest küljest päripäeva) geomeetria, arhitektuur, perspektiivjoonis ja aritmeetika. Vaadake tähelepanelikult vasakus ülanurgas asuvat aritmeetikat: istuv naisfiguur teeb vasaku käega numbri 36 jaoks märgi ja paremaga hindu- araabia numbreid.

Järgmisena peatume Aasia kunsti osakonnas enne uudishimulikku terrakotaplaati (joonis 6). See 5. – 6. Sajandil Kashmiris küpsetatud plaat oli pandud sisehoovi. Reljeefsed uudishimulikud inimkujud pakuvad kunstiajaloolastele huvi, kuid sisselõigatud märgised pakuvad meile siin huvi (ilmselt pole märgistustel midagi pistmist inimfiguuridega; Met-i veebisait soovitab neil näidata, kuhu sisehoovis plaat pidi asetama.)

Selle paani märgised on numbrid, kuid mitte sellised, mida me hõlpsasti ära tunneksime (välja arvatud ehk ||| 3 puhul). Need pole ka tänapäeva hindu-araabia numbrite Brahmi eelkäijad. Need numbrid on kirjutatud iidses Kharosthi kirjas, mis on Brahmi kaasaegne. Kepikujuline sümbol on kümme; rist tähendab nelja. Põhja-India ja naaberpiirkondade (ja siiditee) kirjatundjad ja kaupmehed kasutasid Kharosthi numbreid (joonis 7) umbes 5. sajandist e.m.a kuni 3. sajandini.

Leiame ka Egiptuse kunsti tiiba peidetud numbreid, näiteks keerulises kaelakees ja rinnal, mis on valmistatud kullast, karneoolist, lapis lazulist, türkiisist, granaadist (rinnal) ja päevakivist 12. dünastia vaarao Senwosret II auks (joonis 7).

Meti tõlkes hieroglüüfkirjadest on kirjas: "Tõusva päikese jumal annab kuningas Khakheperrele (Senwosret II) elu ja võimu kogu selle üle, mida päike ümbritseb miljon sada sada tuhat aastat (s.t. igavik)."

Ja tõepoolest kasutasid Egiptuse numbrid, mida sel ajal tähistati miljonist ja sada tuhandest keskpunktist: istuv mees on miljoni sümbol ja tema käest ripub sada tuhat (kulles) (joonis 7).

Mängud

Ikka Egiptuse tiivas leiame (joonis 8) numbreid, mis on tähistatud täringutega Kesk-Egiptusest pärit täringutest, pärit Oxyrhynchusest (el-Bahnasa), mis pärinevad Rooma ajastust, see tähendab 30 eKr – 330 eKr (Oxyrhynchus on kõige tuntum matemaatikutele, et nad leidsid seal fragmente Eukleidi elementide kõige iidsemast versioonist papüürusel, sealhulgas diagrammid, mis pärinevad umbes 100. aastast CE-ga, ning tohutu hulga astronoomiliste ja astroloogiliste papüüruste kohta, mis saidilt viimase umbes sajandi jooksul taastusid, sealhulgas tekstid, tabelid, efemeriidid, almanahhid ja horoskoobid (Jones 1999)).

Need täringud näevad välja väga sarnased nendele, mida me täna kasutame. Mitte kõik iidsed täringud ei teinud seda. Teisi polüheedreid, näiteks ikosaedrat (kakskümmend võrdkülgset kolmnurkset tahku, rühmitatud viieks), kasutati õnnemängudes ka täringuna. Kreeka ja Rooma kunsti tiivas on Metil mitu näite sellistest Rooma ikosaedritest (joonis 9).

Metos väidab, et neid ikosaedreid kasutati seoses oraaklitega. Kuid kuna vanad kreeklased kasutasid numbritena oma tähestiku tähti, võidi neid ka mängudes täringutena kasutada.

Teatud mängudes kasutati täringutena ka lamba- ja kitseosakesi või nende vormitud mudeleid (joonis 10) (ka konsooli kasutati mängudes sarnaselt tungrauaga). Külg, kuhu nad viskamisel maandusid, määras nende “väärtuse”.

Mängud täringutega olid Vana-Egiptuses lemmik ajaviide. Mõned neist on lauamängudes esindatud Meti kollektsioonides. See populaarse lauamängu „Hagijate ja šaakalite mäng“näide (joonis 11, vasakul) on ehitatud eebenipuust ja elevandiluust. See on dateeritud ca. 1814–1805 e.m.a. Mängiti viie tihvtiga, millel olid hagijas ja šaakalipead. Laud ise (joonis 11, paremal) sisaldab 58 auku (29 tahvli keskele sisselõigatud palmipuu mõlemal küljel), keskel süvistatud rõnga sümbol (igaviku või lõpmatuse sümbol; see võib võtta ka päikese kulgu taevas esindama).

Howard Carter ja Earl of Carnarvon uurisid seda tahvlit 1910. aastal Ülem-Egiptuses Teebas, kelle sõnul mängiti mängu kõige tõenäolisemalt hagijaside ja šaakalite liigutustega, mis määrati täringu või nööpnõela abil (Carter ja Carnarvon 1912). "Eesmärgiks pidades märki" Shen "… leiame mõlemalt poolt kolmkümmend üheksa auku või värav koos kolmekümne kõrval. Nende aukude seas on mõlemal küljel kaks tähistatud nefer, ‘hea’; ja veel neli on omavahel ühendatud kumerate joontega (vt joonis 14). Eeldusel, et augud, mis on tähistatud tähega „hea”, saavad kasu, näib, et teised, joontega ühendatud, kannavad kaotust. Võttes seda enesestmõistetavana ja et mäng lõpeb värava "Shen" juures, näib mäng algavat siis peopesa keskmes - ainus koht, kuhu viis mängutükki kõrvale võiks panna takistustega (st aukudega) kokku puutumata kasum või kahjum). … Nüüd võinuks neid käike hõlpsasti tähistada juhuslike sõrmenukkide või täringutega valamine, mida mõlemad muistsed egiptlased juba varakult tundsid; ja kui jah, siis on meie ees lihtne, kuid põnev õnnemäng”(Carter ja Carnarvon 1912).

Veel üks lauamäng Metil (joonis 12), samuti Thebes, pärineb veidi hiljem aastatest 1635–1450 e.m.a ning sisaldab mängunuppe ja eeldatavasti mängu käigus kasutatavaid sõrmkäpi.

Kui seda nimetatakse „kahekümne ruudu mänguks” või „kuninglikuks Uri mänguks” (iidses Sumerias asuvatest kohtadest välja kaevatud mängu paljude näidete tõttu), algas mäng (Finkel 2007) kahe mängijaga, kes liigutasid tükke keskkäik, nagu on kujutatud joonisel 12 (paremal). Iga neljas ruut on tähistatud roseti või muu geomeetrilise sümboliga. Harvardi semiidi muuseumi veebisaidil olevad videod, sealhulgas lihtsustatud versioon, mis sobib lastele, selgitavad, kuidas mängijad liigutaksid oma mängunuppe sõltuvalt astragaloi või kämblaluu viskest.

Kaardimängud on esindatud ka Meti kollektsioonides. Nende mängude üks tuntumaid maale on 19. ja 20. sajandi alguse Euroopa maalide ja skulptuuride osakonnas Paul Czanne’i „Neli kaardimängijat“(Les Quatres joueurs de cartes). “Les Quatres joueurs de cartes” on üks viiest maalist, mille Czanne pühendas talupoegadele kaarte mängimas. Tema modellideks olid kohalikud talupojad Jas de Bouffanis, pere maakodus Provence'is (joonis 13). Pange tähele, et keskkaardimängija jalad moodustavad rooma numbri V. See pole juhuslik, ütleb kunstiajaloolane Mary Louise Krumrine (Krumrine 1997): iga selle viiest seeriast koosnev maal sisaldab mingil kujul arvu viie eksemplari.

Met sisaldab ka näiteid tegelikest kaardipakkidest, omaette kunstiteostest. Üks neist on aeg-ajalt eksponeeritud Euroopa keskaegsele kunstile pühendatud Metropolitani muuseumi filiaalis The Cloisters Fort Tryoni pargis (Põhja-Manhattan). See viiskümmend kaks Hollandi mängukaarti (joonis 14) on ainus teadaolev komplekt 15. sajandist. Tuttavate teemantide, labidate, nööpide ja südamete asemel tähistavad siin nelja ülikonda jahi tuttavad esemed: koera kaelarihmad, hagijavitsad, ulukisõlmed ja jahisarved.

.

Mõõtmed

Jätkates varjatud matemaatika otsinguid, pöördume tagasi moodsa ja kaasaegse kunsti tiiva juurde Josef Albersi teosele "Homage to the Square: With Rays". See on üks teoste seeriast "Kummardus väljakule", mille Albers alustas 1950. aastal. Meti veebisait ütleb, et sari kasvas "kokku üle tuhande teose, mis teostati 25 aasta jooksul, sealhulgas maalid, joonistused, trükised ja seinavaibad. " Enamik kujutab "mitut ruutu, mis näivad kattuvat või üksteise sees pesitsevat". Kunstnik Albersi jaoks oli seeria vähem ruutudest kui värvidest ja sellest, kuidas need muutuvad, kui neid teistega kõrvutame.

Kuid matemaatikat on siin rohkem, kui silma paistab. Sarja "Kummardus väljakule" tähelepanuväärseid värviefekte arutatakse Internetis lõpmatult, Albersi kattuvate ruutude "matemaatiliselt määratud formaat" aga mitte. New York Times vastupidi, Albersi väljakud pole kontsentrilised. Kas leiate joonise 15 nelja ruudu vahelise seose matemaatiliselt täpse kirjelduse? Ja mida saate öelda teiste selle sarja tööde kohta Met'i veebisaidil ?.

Liikudes Fotograafia tiiva ja ülespoole, kaaluge Edward Steicheni (1879–1973) fotot „Sugar Cubes“. Sellel fotol (joonis 16) näeme tavaliste suhkrukuubikute peaaegu ristkülikukujulist massiivi. Tähelepanu ei pööra ega hoia kuubikud ise; see on nende varjud. Kuhu Steichen selle ruudulise efekti tekitamiseks oma lambid paigutas? Testige oma vastust eksperimentaalselt, kasutades naabruses asuva toidupoe suhkrukuubikuid ja tavalist taskulampi.

Suhkrukuubikud ja nende varjud võivad meenutada kuubikuid, mis on "laotatud" kuni kõige tasapinnaliste ristkülikukujuliste võrkudeni (joonis 17).

Vaadake uuesti "Melencolia" polüheedrit (joonis 2). Kas saate selle jaoks joonistada tasapinnalise võrgu, mis sarnaneb siin väljaku jaoks näidatuga? Kas teie võrk on ainulaadne või saate seda muul viisil muuta? Mitu erinevat võrku saate selle jaoks teha - mitu võimalust saab seda mitmetahulist lõigata ja "lahti rullida"? Kas iga polüheedri saab lahti võrku, mis asub tasasel kohal ja ei kattu iseendaga? See küsimus, millel on rakendusi alates bioloogiast kuni tööstusdisainini, on meie aja oluline lahendamata geomeetriaprobleem.

Liigu uuesti ühe dimensiooni võrra üles, seekord kolmelt neljale. Joonisel 18 risti moodustavad kaheksa suurt kuubi on neljamõõtmelise kuubi kolmemõõtmeline võrk! (Jah, kunstnik Salvador Dal teadis seda; sellest tuleneb pealkirjas "hüperkubus".) Kuidas see võrk neljas mõõtmes välja näeks, kui saaksite selle kokku voltida?

.

Ruum ja aeg

Met-st leiate ajavõtuseadmeid kunstiteostest kinni (näiteks liivakell seinal joonisel 2.). Met sisaldab ka rikkalikke astronoomiliste instrumentide ja ajavõtuseadmete kollektsioone.

Araabia maade kunsti tiibast leiame kaunilt sepistatud astrolabeed. Need iidsed seadmed päikese, kuu, planeetide ja tähtede asukoha määramiseks ja ennustamiseks olid "keskaja slaidireeglid". (Selle saate teada Internetist; otsige näiteks astrolabeede kohta saidilt HowStuffWorks.com.)

Joonisel 19 (vasakul) näidatud ‘Umar ibn Yusuf ibn’ Umar ibn ’Ali ibn Rasul al-Muzaffari astrolabel pärineb aastast 1291 ce. See valmistati Jeemenis valatud pronksist ja seejärel haamriti, torgati läbi, jälitati ja lõpuks inkrusteeriti hõbedaga, et saada ilus instrument, mille läbimõõt oli veidi üle kuue tolli. Kuninglikule staatusele vastavalt ja enne troonile tõusmist oli vürst Umar ibn Yusuf olnud hoolikalt haritud, tundnud hästi matemaatikat ja astronoomiat ning kirjutanud isegi traktaadi astrolabeede ehitamisest. Teine Met astrolabe (joonis 19, paremal), mille valmistas ligi 400 aastat hiljem Iraanis Mashhadis Muhammad Zaman al-Munajjim al-Asturlabi, on valmistatud valatud ja vasardatud messingist ja terasest ning läbimõõduga alla 7 tolli. Kumbki neist astrolabestidest polnud piisavalt suur, et teha täpseid astronoomilisi vaatlusi, kuid need olid piisavalt täpsed, et öelda aega ja neid saaks kasutada planeetide asukoha määramiseks astroloogilistel eesmärkidel.

Euroopa dekoratiivkunsti juurde naastes leiame ebatavalise kaasaskantava päikesekella, mis ühtlasi kalibreeris päikesekellasid (joonis 20). Messingist ja hõbedast valmistatud objekt ehitati millalgi aastatel 1690–1708. Prantsuse keelne kiri: „Cost appliqu au mur pur avoir la declinaison des plans” osutab selle kasulikkusele planeetide deklinatsiooni määramisel. Lisaks aja märkimisele või pikkuskraadi määramisele sisaldas see seade süvistatud kompassi täpseks orienteerumiseks.

Kui kellad muutusid üha täpsemaks ja üldlevinumaks, tõusis päikesekellade tähtsus nende seadmise ja reguleerimise vahendina (Chandler ja Vincent 1967). “Valimine” - või päikesekellade ehitamise kunst - oli oskus, mis käis sageli käsikäes kompassi ja kellasseppade tööga. Joonisel 20 näidatud päikesekella kõrval on miniatuurne päikesekell rooma numbritega (registreerimisnumber 03.21.60).

Gubbio Studiolo

Sellest võib ühe ekskursiooni jaoks kindlasti piisata, võite mõelda. Kuid ärge lahkuge Metist, külastamata suurvürsti Federico III da Montefeltro (1422–1482) Gubbio Studiolot (väike stuudio), mis müüdi Metile ja paigaldati uuesti 1939. aastal.

Suurvürst ei olnud mitte ainult edukas palgasõdur ja paavst Gonfaloniere, vaid ka kunstide, kirjanduse, teaduse ja matemaatika austaja. Tema õppesse sisenedes astute sajandeid ajas tagasi (joonis 21). Kahvatu valgus lämmatab toa aknast nagu kargel sügishommikul ning väikese kabineti seinad on inkrusteeritud täpselt lõigatud puidutükkidega, mis sobivad kokku, et tekitada illusiooni kappidest ja raamaturiiulitest, mis on täis silmi ja meelt imetabaseid esemeid.

Studiolo on hoolikalt kavandatud näide suurejoonelistest kolmemõõtmelistest efektidest, mille matemaatiline perspektiiv on võimaldanud. Ühe varaseima sellele teemale pühendatud tehnilise traktaadi De prospectiva pingendi (Maali perspektiivist, umbes 1475) kirjutas perspektiivitehnikate üks varasemaid meistreid Piero della Francesca (umbes 1415–1492). Piero kuulus Montefeltro patronaaži kasusaajate hulka ja ta pühendas hertsogile De prospectiva pingendi. Teine matemaatik, kes Montefeltroselt patrooniks osutus, oli Fra Luca Pacioli (1447–1517), mille leht kuulus Summa de arithmetica, geomeetria. Proportioni et proportionalita nägime jooniselt 3. Ka see raamat on pühendatud Guidobaldo da Montefeltrole.

Studiolo külastusel (koos lastega või mitte) vaadake, kui palju esemeid leiate ruumi paljudest matemaatikaga seotud paneelidest. Mõned on ilmsed, nagu näiteks armillaarkera ja kvadrand, arhitekti ploomi ja puusepa ruut, kompass ja paar eraldajat. Teised on ehk vähem, näiteks liivakell aja mõõtmiseks ja muusikariistad, mis kajastavad hertsogi huvi muusika kui ühe vabakunsti matemaatika vastu. Cittern oma üheksa keelpilli, silla ja pegboxiga ‘’ toob meelde muusika harmooniliste proportsioonide teooria. 15. sajandi jooksul hakati muusikalise harmoonia kontseptsiooni ning lineaarse perspektiivi ja arhitektuuriliste proportsioonide põhimõtteid käsitlema sama matemaatilise tõe väljendusena”(Raggio 1999). Suurim muusikainstrument, mida Gubbio paneelil on kujutatud, on portatiivne orel, mis asub uksest paremal, ja oreli torude erinevad pikkused on selged meeldetuletused mõõdetud proportsioonide seosest muusikaharmooniatega, mida pill mängides tekitab.

Pange tähele ka malelauamustriga torust "tabelis" joonisel 22! Ehkki see pakub matemaatilist huvi, pole see matemaatiline instrument. See on renessansiaegne mazzocchio, müts, mis on eriti populaarne Firenzes 15. sajandi lõpus.

Piero leidis, et mazzocchio sobib eriti hästi perspektiivse joonistamise didaktilisteks harjutusteks. Mazzocchio õige renderdamine matemaatilise perspektiivi abil on tähelepanuväärne harjutus tema De perspektiivi pingendis, kus ta kasutab seda 3. raamatus, et selgitada matemaatilist meetodit veergude aluste ja suurtähtede proportsionaalse lühenemise kohta, mille abil saab neid realiseerida perspektiivi põhimõtete mõttes (Raggio 1999). Gubbio Studiolos oli mazzocchio kujutamine nii disaineri matemaatilise oskuse proovilepanek kui ka käsitööliste märk silma petta ja meelt petta.

Enne Studiolo juurest lahkumist heitke veel viimane pilk ja kujutlege siin, vaikuses, hertsog da Montefeltrot, mõeldes ehk Piero kirjutatud ja talle pühendatud matemaatilistele käsikirjadele. Kaks muusikariistast tekitavad kummalise küsimuse: miks on mõned luti ja harfi keeled katki? Mitte tähelepanu või hoolduse puudumise tõttu; Pange tähele, et harfi all on peenelt sepistatud häälestusmehhanism, et hoida seda täiuslikus matemaatikas. Hertsog oleks olnud teadlik matemaatika ja muusika füüsilisest ja filosoofilisest seosest, mis on esindatud kogu Studiolo's. Seos, mida Platon Phaedos rõhutas, meenutades Sokratese elu viimaseid tunde, kus lüüra keeled tähistavad harmoonia, nähtamatu, kehatu, jumalik. Siiski on lüüra füüsiline objekt ja seega on ka keeled sellest maailmast materiaalsed, nähtavad. On pakutud, et katkised lantikeeled võivad olla füüsiline viide hertsogi ja tema naise surmale, kusjuures Studiolo ise valmis alles varsti pärast hertsogi surma. Igal juhul ei saa Gubbio Studiolo juurest lahkuda ilma matemaatika rahu ja harmooniatajuta, mida hertsog ise siin kindlasti tundma pidi.

Tsiteeritud tööd ja veebisaidid

Carter ja Carnarvon 1912. Howard Carter ja Carnarvoni krahv. Viie aasta uurimised Thebesis, tehtud tööd 1907–1911. London: Oxford University Press, 1912.

• Finkel 2007. Irving Finkel. Iidsed lauamängud perspektiivis. London: British Museum Press, 2007.
• Jamnitzer 1568. Wenzel Jamnitzer, Perspectiva Corporum Regularium. Faksiimile reprodutseerimine Akademische Druck u. Verlagsanstalt, Graz, 1973.
• Krumrinie 1997. Mary Louise Krumrine. “Les‘ Joueurs de cartes”de Czanne: Un jeu de la vie,” Czanne aujourd'hui. Pariis, 1997.
• Karl Menninger, Numbrisõnad ja numbrisümbolid: arvude kultuurilugu, New York, NY: Dover Publications, 1992.
• Raggio 1999. Olga Raggio. Gubbio Studiolo ja selle kaitse. I. Federico da Montefeltro palee Gubbios ja selle Studiolo. New York, NY: Metropolitani kunstimuuseum, 1999.
• Harvardi semiitiline muuseum 2006. „Luude viskamine: 20 ruudu mäng”, videoesitlus, mis on loodud näitusele Vana-Iisraeli majad; Kodumaine, kuninglik, jumalik, Cambridge, MA: Harvardi semiitiline muuseum, 2006:
• http://electronics.howstuffworks.com/gadgets/clocks-watches/astrolabe.htm.
• http://engineering.nyu.edu/events/2014/05/17/500-years-melancholia-mathematics).
• http://archaeologicalmuseum.jhu.edu/the-collection/object-stories/archaeology-of-daily-life/childhood/knucklebones/.

LISALUGEMIST

Numbrid

Keith Devlin, Numbrite mees: Fibonacci aritmeetiline revolutsioon. New York, NY: Walker & Co, 2011.

• Seymour Block ja Santiago Tavares, Enne Sudokut: Maagiliste väljakute maailm, New York, NY: Oxford University Press, 2009.
• David Eugene Smith. Matemaatika ajalugu. Boston, MA: Ginn and Co, 1923–1925, kd. 2: “Sõrmede tagasilükkamine”: 196–202.
• Birma P. Williams ja Richard S. Williams, „Näpunumbrid kreeka-rooma maailmas ja varakeskajal”, Isis 86 (4) (1995): 587–608.

Mängud

Athanassoglou-Kallmyer 2003. Nina Maria Athanassoglou-Kallmyer. Czanne ja Provence: Maalikunstnik oma kultuuris. Chicago, IL: University of Chicago Press, 2003.

• Chen ja Ankenman 2006. Bill Chen ja Jerod Ankenman. Pokkeri matemaatika. Pittsburgh, PA: ConJelCo, 2006.
• Diaconis ja Keller 1989. Persi Diaconis ja Joseph B. Keller, “Õiged täringud”, The American Mathematical Monthly, 96 (4) (1989): 337–339.
• Dunn-Vaturi 2014. Anne-Elizabeth Dunn-Vaturi. "Kakskümmend ruutu: iidne lauamäng", näituseblogi: Assüüria Ibeeriale klassikalise ajastu koidikul. Metropolitani kunstimuuseum, postitatud teisipäeval, 9. detsembril 2014.
• http://www.metmuseum.org/exhibitions/listings/2014/assyria-to-iberia/blog?auth=Anne-Elizabeth+Dunn-Vaturi&st=author.
• Jones 1999. Alexander Jones. Oxyrhynchuse astronoomilised papüürused. Vol. I ja II. Philadelphia, PA: Ameerika Filosoofiaühing, 1999.
• Packel 2006. Edward W. Packel. Mängude ja hasartmängude matemaatika. Washington, DC: Ameerika Matemaatikaühing, 1981; 2. ed. 2006.
• Thorp 1985. Edward Thorp. Hasartmängude matemaatika. Secaucus, NJ: Lyle Stuart, 1985.

Mõõtmed

Abbott 1884. Edwin Abbott, Flatland: paljude mõõtmetega romantika. London: Seeley and Co., 1884. Vt eriti Ian Stewarti kommenteeritud versiooni: Annotated Flatland. Toronto, Kanada: Perseus Publishing, 2002.

• Joseph O'Rourke, Kuidas seda kokku panna: seoste matemaatika, origami ja polühedra, Cambridge: Cambridge University Press, 2011.

Ruum ja aeg

Chandler ja Vincent 1967. Bruce Chandler ja Clare Vincent. "Kindel tagasilükkamine: 17. ja 18. sajandi päikesekellad." Metropolitan Museum of Art Bulletin 26 (4) (1967): 154–169.

• Lennox-Boyd, Mark. Päikesekellad: ajalugu, kunst, inimesed, teadus. London: Frances Lincoln Ltd., 2006: esp. lk 48–85.
• Vincent, Clare. "Magnificent Timekeepers: Põhja-Euroopa kellade näitus New Yorgi kollektsioonides." Metropolitani kunstimuuseumi bülletään 30 (4) (1972): 154–165.

Studiolo

Cheles 1986. Luciano Cheles. Urbino Studiolo: ikonograafiline uurimine. University Park, PA: Pennsylvania State University Press, 1986.

• Raggio 1996. Olga Raggio. "Liberal Arts Studiolo Gubbio hertsogipaleest," The Metropolitan Museum of Art Bulletin 53 (4) (kevad, 1996): 5–35.
• Rotondi 1969. Pasquale Rotondi. Urbino hertsogi palee: selle arhitektuur ja sisustus. London: Alex Tiranti, 1969.
• Wilmering 1999. Antoine M. Wilmering. Gubbio Studiolo ja selle kaitse. II. Itaalia renessansiaegne intarsia ja Gubbio Studiolo kaitse. New York, NY: Metropolitani kunstimuuseum, 1999.

Kui sa lähed

Meti aadress on 1000 Fifth Avenue (aadressil 82nd Street), New York, NY 10028, USA (vt joonis 24). Muuseum on avatud 7 päeva nädalas. Meti veebisaidilt leiate lahtiolekuajad ja muu teabe.

Kaardista oma marsruut hoolikalt; muuseum on tohutu. Saate alla laadida Meti kaardi veebisaidilt või saate selle kätte muuseumi sissepääsu infolauast. Märkus: selle tuuri viimane peatus, suurvürsti Federico III da Montefeltro Gubbio Studiolo on püsivalt installitud galeriisse 501, kuid sellest hoolimata pole seda lihtne leida. Viiendalt avenüüst muuseumi sisenedes jätkake otse paremalt või vasakult suurest trepist, mis viib teisel korrusel asuvatesse Euroopa portreegaleriidesse. Trepist mööda minnes järgige mõlemal küljel keskaegsete esemete esimese korruse koridore, kuni jõuate Hispaania sisehoovi, misjärel paremale pöörates viib keskaegsete soomuste saali viiv peakorridor teid väikesesse vestibüüli ja kohe sisenedes pöörake paremale, et leida ukseava, mis viib Studiolosse.